численные алгоритмы решения дифференциальных уравнений
Это интересно!!!
численные алгоритмы построение и анализ

численные алгоритмы управления

С. Д. Алгазин Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики МОСКВА “НАУЧНЫЙ МИР” 2002 1 УДК 519.6 ББК

Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Предварительные результаты. 13
I. Дифференцирование потенциалов 13
1, Общий случай 13
2. Случай осевой симметрии 23
2. Вычисление полных эллиптических интегралов 31
1. Аналитическое продолжение 31
2. Алгоритмы вычисления 40
3. Вычисление интегралов типа Коши 47
1. Вспомогательные результаты 47
2. Вычисление интегралов 56
4. Вопросы аппроксимации функций и квадратурные формулы 64
1. Аппроксимация непериодических функций 64
2. Квадратурные формулы 68
3. Аппроксимация периодических функций 76
ГЛАВА II. Технология численной реализации осесимметричных задач 82
5. Структура интегральных операторов 82
1. Замена переменной интегрирования 82
2. Алгоритмы вычисления 89
6. Тестовые расчеты 92
1. Схема построения тестов 92
2. Тесты для потенциалов 95
3. Тесты для краевых задач 97
4. Тесты для задачи обтекания, 99
5. Комментарии к таблицам 100
6 Таблицы расчетов. 106
Литература
Случай осевой симметрии
Алгоритмы вычисления
Алгоритмы вычисления
Тесты для краевых задач
Введение к работе
Проблемы исследования потенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости связаны с отысканием решений вспомогательных эллиптических задач, возникающих здесь в качестве важного промежуточного этапа. Так, например, задачи о плоских движениях идеальной жидкости сводятся к краевым задачам для аналитических функций [34J ; задачи обтекания тел - к внешним задачам Неймана для уравнения Лапласа [19, 35, 36J ; задачи со свободными границами - к нелокальным задачам Коши для псевдодифференциальных операторов [l3, 39-41J . Прогресс в решении указанных гидродинамических задач идет, как правило, по пути совершенствования, или даже создания, новых вычислительных средств в эллиптических задачах [ 47J .
Тематика диссертации возникла из попытки дать адекватное численное описание осесимметричных задач со свободными границами [I7J , гладкое решение которых "отслеживает" форму свободных границ с течением времени вплоть до их "разрушения", В реальной ситуации получить точные решения этих задач практически невозможно [40J . Поэтому приходится обращаться к численным методам. Здесь наиболее трудной является проблема обнаружения особенности на свободных границах [34J , Изучением этих задач с помощью ЭВМ занимались многие авторы L8-I0, 23, 24, 43J . Вместе с тем, ни одну из них в полном объеме не удалось реализовать. Причина такого положения - в отсутствии адекватного этим задачам вычислительного аппарата. В связи с этим необычай - 5 -но остро стоит вопрос доверия полученным и периодически получаемым численным результатам [_23, 24, 43J .

В19 Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы МЦНМО, 2003.  Мы опишем здесь алгоритм П. Ферма, полученный им в 1643 г. Этот алгоритм вычисляет

Посмотрим какие требования предъявляют задачи со свободными границами к возникающим здесь вспомогательным эллиптическим задачам.
Прежде всего заметим, что термином "задачи со свободными границами" обозначен класс задач гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, в котором поверхность (или ее часть), ограничивающая объем, занятый жидкостью, не фиксирована заранее, а состоит из жидких частиц [40J . Ясно, что решения этих задач представляют собой временную эволюцию жидких частиц под действием сил инерции, внешнего давления, поверхностного натяжения и потенциальных массовых сил. Поскольку в процессе построения решения исходная задача расщепляется на линейную эллиптическую задачу в области, занятой жидкостью, и нелокальную нелинейную задачу Коши на свободной поверхности [17] , то свободная (неизвестная) поверхность определится в результате решения задачи Коши для уравнений, связывающих форму поверхности и скорости жидких частиц на ней [40J . В связи с этим геометрическая конфигурация области, в которой нужно решать эллиптическую задачу может быть достаточно произвольной.
В случае потенциальных движений жидкости эллиптическая часть задачи состоит в отыскании по данным Дирихле гармонической в области функции с последующим вычислением ее граничного градиента.
Примерами задач со свободными границами могут служить классические задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора [ю] и Гельмгольца-Кельвина [2lJ , а также задачи о всплывании пузырей [ІЗ, 32, 41, 43J •
Специфическая особенность указанных задач состоит в том, что классы их корректности весьма узки, решения, хотя и бесконечно дифференцируемы, но существуют недолго и неустойчивы,
[13, 39-42J . Указанные причины предъявили очень жесткие требования к алгоритмам, способным численно воспроизвести решения задач со свободными границами.
Первым этапом на пути создания адекватного численного описания этих задач является разработка численных алгоритмов для решения вспомогательных эллиптических задач с учетом свойств гладкости их решений.
Цель диссертационной работы состоит в построении такой методики решения краевых задач, связанных с уравнением Лапласа в случае гладких осесимметричных областей.
Следует согласиться с тем [ 7J , что при конструировании численных алгоритмов целесообразно руководствоваться такими способами приближения решений, ошибка аппроксимации которых определялась бы не "малостью разбиения" области на части, а наличием и степенью роста производных высокого порядка. В алгоритмах такого рода скорость сходимости приближенного решения задачи к точному определяется количеством непрерывных производных у отыскиваемого решения. Математические идеи, лежащие в основе указанных алгоритмов, принадлежат К.И.Бабенко [4, 6J. Алгоритмы, учитывающие потенциальную гладкость отыскиваемого решения, названы К.И.Бабенко алгоритмами без насыщения L7J . Для задач с большим запасом непрерывных производных у решения (например, эллиптических) такие алгоритмы имеют преимущество [47] .

§ 1. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. Понятие алгоритма принадлежит к числу основных понятий математики.

- 7 Заметим, что в плоском случае конструкция алгоритмов без насыщения впервые была описана в статье [ 5J . Указанный в ней способ аппроксимации решения эллиптической задачи был использован затем в задаче о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора, что позволило в одном частном случае "протянуть" по времени численное решение этой задачи вплоть до его разрушения [в J . Это пока единственный убедительный численный результат в задачах со свободными границами. Он, кстати, подтвердил мысль о том, что адекватное численное описание задач со свободными границами невозможно без тщательно построенного численного решения соответствующих им эллиптических задач.
Конструирование алгоритмов для решения эллиптических задач всегда предполагает следующую последовательность: сначала эллиптическая задача сводится к ее конечномерному аналогу» а затем указывается способ решения полученной алгебраической системы уравнений. Точность построенного таким образом численного решения зависит от того, в какой степени конечномерная аппроксимация сохраняет свойства решений рассматриваемой эллиптической задачи.
Способы конечномерной аппроксимации, основанные на разностных методах и методах конечных элементов, насыщены Г?3 • В связи с этим решения эллиптических задач следует находить из эквивалентных им интегральных уравнений.
Большинство распространенных методов решения интегральных уравнений используют стандартные (имеющие главный член погрешности [l2j ) квадратурные формулы и фиксированный способ аппроксимации решения, что заранее достаточно жестко предопределяет качество получаемых приближений, поскольку все эти методы на - 8 сыщены L7, 47 J • Поэтому при проектировании вычислительного процесса для решения интегральных уравнений, важно позаботиться о том, чтобы интегральные операторы краевой задачи были реализованы численно как можно тщательнее, желательно с помощью квадратурных формул, не обладающих насыщением [7J .
В осесимметричных задачах возникают трудности принципиального характера: вблизи оси симметрии в ядрах интегральных операторов задачи был обнаружен сильный рост функций [те]. Этот эффект (назовем его "пограничным слоем") явился своеобразной платой за понижение размерности трехмерной задачи на единицу» Эффект оказался чисто вычислительным, поскольку осевая симметрия никак не нарушает свойств гладкости интегральных операторов задачи. Было установлено [іб] , что пограничный слой нельзя интерпретировать в рамках существующих способов вычисления интегралов, В известных работах С 31, 33, 49, 50J о значительном понижении точности расчета вблизи оси симметрии мало говорится, поскольку авторы их молчаливо соглашаются с этим обстоятельством. Исключение составляет статья С22] , в которой указан способ преодоления этого затруднения на основе квадратурных формул с автоматическим выбором шага интегрирования. Методики расчетов, приведенные в цитируемых работах, оказались малоэффективными вблизи оси симметрии, поскольку используют локальные способы выделения особенности у подинтегральных функций без учета пограничного слоя. При численной реализации задачи это обстоятельство воспроизведет не столько свойства самих интегральных операторов осесимметричных задач, сколько их взаимодействие с указанным способом выделения особенности.
В постановке любой краевой задачи всегда присутствуют, два типа входной информации. Это, с одной стороны, информация об интегральных операторах задачи, носящая аналитический характер, а, с другой - информация геометрического характера о форме области.
Всякий адекватный численный метод решения краевых задач должен предусматривать совместную переработку указанных выводов информации, поэтому геометрическая информация должна быть приведена к аналитическому виду. Например, в плоских задачах теории потенциала учет геометрии области производится с помощью функций, осуществляющих конформное отображение области на KpyrLlJ В осесимметричных задачах геометрия области учитывается в терминах пограничного слоя [l6j •
В диссертации с помощью специальной замены переменной интегрирования пограничный слой выделен в явном виде, В связи с этим трудности численной аппроксимации интегральных операторов осесимметричных задач были редуцированы к проблеме построения специальных квадратурных формул, способных нейтрализовать большой рост подинтегральных выражений. Такие квадратурные формулы были построены.
Основными результатами диссертации, которые выносятся на защиту, являются:
1. Новые численные алгоритмы без насыщени

Численные алгоритмы классической математической физики. Автор: Алгазин С. Д. Год: 2010 Издание: Диалог-МИФИ Страниц: 240 ISBN


Модуль LinearAlgebra Модуль LinearAlgebra содержит алгоритмы линейной алгебры, в  В этой лекции рассматривался набор модулей для численных вычислений.

Численные алгоритмы без насыщения в осесимметричных задачах гидродинамики : ил РГБ ОД 61:85-1/1510.


Алгоритмы работы с величинами. Линейные вычислительные алгоритмы. Учитель информатики и ИКТ МБОУ СОШ 11 г. Струнино Волков Юрий Павлович 2012 год Урок


Таблица 1. Численные алгоритмы. Название. Описание. accumulate(). Объединяет асе значения элементов (вычисляет сумму, произведение и т. д.)

числом, от численных методов точного (рационального) решения ждать и  Хартманис and Р. Стирнз. “О вычислительной сложности алгоритмов”. russian.


Модуль LinearAlgebra содержит алгоритмы линейной алгебры, в частности  В этой лекции рассматривался набор модулей для численных вычислений.


391 УДК 517.925 аналитико-численные алгоритмы локализации скрытых аттракторов обобщенной системы чуа И.М

14 Численные алгоритмы. 15 Алгоритмы оптимизации.  Алгоритм Джонсона — вычисляет все кратчайшие пути во взвешенном графе.


Рекомендуем

rd-ok.ru Телефон: +7 (382) 089-44-12 Адрес: Краснодарский край, Армавир, Посёлок РТС, дом 43