даны векторы вычислить значение
Это интересно!!!
даны векторы вычислить определитель

даны векторы вычислить проекцию

456. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ = 1, ВС = СС1 = 2. Вычислите угол между векторами DВ1 и ВС1.

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её « хиральности».
Содержание
1 Определение и история
2 Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
3 Свойства
3.1 Геометрические свойства векторного произведения
3.2 Алгебраические свойства векторного произведения
4 Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
5 Обобщения
5.1 Кватернионы
5.2 Преобразование к матричной форме
5.3 Распространение на матрицы
5.4 Размерности, не равные трём
6 Алгебра Ли векторов
7 См. также
8 Примечания
9 Литература
10 Ссылки
Определение и история [ править | править вики-текст ]
Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними.
вектор ортогонален каждому из векторов и ;
вектор направлен так, что тройка векторов является правой;
в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов .
Обозначение:

Даны: |a|=13 (модуль вектора а), |b|=19 (модуль вектора b) , |a+b|=24 (модуль вектор а+вектор b) Вычислить: |a-b| (модуль вектор а - вектор b).28 октября 2012

В литературе
[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.
Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводится остальное.
Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году
[2] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю
[3]. Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве [ править | править вики-текст ]
Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки
Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.
Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора, второй строкой координаты второго вектора и третьей строкой координаты третьего вектора. Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:
Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы. Свойства [ править | править вики-текст ] Геометрические свойства векторного произведения [ править | править вики-текст ]

Пример 2. Даны векторы = {—2; 3} и = {1; —4}. Вычислить координаты вектора 2 — 3 . Решение. Сначала найдем координаты векторов 2 и —3 7 ноября 2015

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)
Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка — правая, а — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
Если — какой-нибудь вектор, — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула
При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны. Алгебраические свойства векторного произведения [ править | править вики-текст ] Представление Описание свойство антикоммутативности свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр свойство дистрибутивности по сложению тождество Якоби, выполняется в и нарушается в формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов значение этого выражения называют смешанным произведением векторов , , и обозначают либо Выражение для векторного произведения в декартовых координатах [ править | править вики-текст ]
Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:
или
где — символ Леви-Чивиты.
Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид
Для запоминания, аналогично:
или
Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы и во вспомогательной правой системе координат ( ): Обобщения [ править | править вики-текст ] Кватернионы [ править | править вики-текст ]
Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , , — стандартные обозначения для ортов в : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.
Заметим, что соотношения через векторное произведение между , и соответствуют правилам умножения для кватернионов , и . Если представить вектор как кватернион , то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов. Преобразование к матричной форме [ править | править вики-текст ]
Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:
где
Пусть равен векторному произведению:
тогда
Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы ( угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь независимых компонент в -мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.
С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).
Из общих свойств векторного произведения следует, что и
а так как кососимметрична, то
В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»). Распространение на матрицы [ править | править вики-текст ]
В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу как столбец векторов, тогда
Умножение матрицы на вектор сле

Дано: , . Найти. Даны векторы , , =5, =2, . Вычислить проекцию вектора на


6) Даны векторы и Найдите - проекцию вектора на ось вектора. 7) Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислите проекцию вектора на вектор MN.

Пример: Вычислить длину вектора . Решение: Расстояние между точками и вычисляется по формуле  Даны векторы ={ax, ay, az} и ={bx, by, bz}.


6. 3. Даны векторы a = (2,1,3) и b = (5,4,1) . Вычислить площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.


Даны векторы . Вычислить  Даны векторы , и . Вычислить . Вектор , коллинеарный вектору (6,-8,-7.5}, образует острый угол с осью OZ.

Пример. Даны вектора a и b, надо найти вектор с = a + 3*b  Далее, найдем сумму векторовс = a1 + a (сервис по вычислению суммы векторов) - и получаем ответ (с


Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год), №445 к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов».


Вычислить |a-b|. Показать решение.

Меня, честно говоря, потрясла эта "точность" вычислений - или :o.  добрый день. Вот не могу решить задачу: Даны компланарные векторы a, b, c. Вычислить длину


Векторное произведение двух векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить следующим


Домашняя работа №1 «Понятие вектора». 1. Даны векторы , . Найти  а) Показать, что векторы образуют базис. б) Найти координаты вектора в базисе .

Даны векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС.  Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и .


Даны Вычислить. Векторы и образует угол , причем Определить и. Определить при каких значениях и векторы = –2i+3j+k и коллинеарны.


Понятно, что тривиальная комбинация любых векторов дает нулевой вектор.  Вычислить определитель Грама векторов p1 , p2 , p3 .

Пусть дан вектор .  Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если .


D(-7,-1, 1), ; 2) Даны векторы: Вычислить и изобразить в системе координат следующие линейные комбинации этих векторов.


Даны точки . Вычислите проекцию вектора на вектор 3. … По какой формуле вычисляется расстояние от точки до плоскости, заданной14 октября 2012

Скалярное произведение векторов.Вычисление углов между прямыми.  а прямые параллельны. №466(а) Дано: Вычислить косинус угла между прямыми и Дано 3 апреля 2012


Смешанное произведение векторов Если , то данные векторы компланарные  АВС будет вычисляться следующим образом: Ответ: 12,5.Пример 4.Вычислить


6. Даны векторы. Задание: написать разложение вектора по векторам.  Решение. 10. Вычислите скалярное и векторное произведения векторов и , где.

Мгновенная скорость υ – вектор скорости в данный момент времени, равный первой производной от r по времени и  Так вычислять скорость проще, т.к. s – скаляр.


Если возможно, вычислить объем параллелепипеда, построенного на данных векторах. 6. Написать разложение вектора r{1, - 4, - 3} по базису


(векторы в данной задаче определены в пространстве R ). Проверим ортогональность векторов, вычислив скалярные произведения: 4 r r r Ì3— Ì2

Прошу помочь в решении задачи: Даны векторы a, b, c. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения 9 ноября 2015


Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов и можно  Даны векторы . Найти скалярные произведения. Решение. По формуле (1.10) вычисляем.


Понятие вектора. В геометрическом смысле вектор — это направленный отрезок  В алгебраической форме скалярное произведение d = a · b вычисляется как.

Пример. Даны векторы . Найти вектор .  Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты


Рекомендуем

rd-ok.ru Телефон: +7 (382) 089-44-12 Адрес: Краснодарский край, Армавир, Посёлок РТС, дом 43